Il observe une légère diminution du nombre de couverts mais sa formule demeure rentable.
Les trois parties A, B et C sont indépendantes.
Partie A
Le tableau suivant donne l'évolution du nombre de couverts lorsque le prix du menu varie.
Le gérant a réalisé le tableau ci-dessous extrait d'une feuille de calcul:
La plage de cellules D3:E5 est au format pourcentage arrondi à 0,01 %.
- Proposer une formule à saisir dans la cellule D3, permettant par recopie vers le bas de compléter les cellules D4 et D5.
- Proposer de même une formule à saisir dans la cellule E3, permettant par recopie vers le bas de compléter les cellules E4 et E5.
- a) Calculer le taux d'évolution annuel moyen, arrondi à $0,01\%$, du prix du menu entre l'été 2012 et l'été 2015.
b) En supposant que le taux d'évolution annuel du prix du menu reste constant et égal à ce taux moyen après l'été 2015, donner une estimation du prix du menu, arrondi au centime, pendant l'été 2017.
- Donner, en détaillant la démarche, une estimation du nombre hebdomadaire moyen de couverts pendant l'été 2017.
Partie B
- Le nombre hebdomadaire moyen de couverts en fonction du prix $x$ du menu est $N(x) = -19x+604$. Le prix $x$ du menu est exprimé en euro.
a) Calculer le nombre hebdomadaire moyen de couverts lorsque le prix du menu est de 11 €.
b) Calculer le chiffre d'affaires hebdomadaire réalisé par la brasserie lorsque le menu est au prix de 11 €.
c) On note $C(x)$ le chiffre d'affaires hebdomadaire en euro pour un prix du menu de $x$ euros. Montrer que $C(x) = -19 x^2+604 x$.
- On considère la fonction $C$ définie sur l'intervalle $[0;25]$ par $C(x) = -19 x^2+604 x$.
a) Déterminer l'expression de la fonction dérivée $C'$ de $C$.
b) Donner le signe de $C'(x)$ sur l'intervalle [0;25].
c) Dresser le tableau de variations de la fonction $C$ sur l'intervalle [0;25].
- a) Pour quel prix du menu le chiffre d'affaires hebdomadaire de la brasserie est-il maximal? On arrondira le résultat au centième.
b) À ce prix, quel est le chiffre d'affaires hebdomadaire de la brasserie ? On arrondira le résultat à l'unité.
Partie C
Le gérant souhaiterait faire passer le prix du menu à 15,90 € dès l'été 2016.
Il souhaite estimer la proportion de clients qui seraient prêts à venir déjeuner à ce tarif.
Il réalise un sondage le samedi suivant auprès des clients présents le midi ce jour-là.
Sur les 50 personnes interrogées, 39 se disent prêtes à venir déjeuner à ce tarif.
Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95 %, de la proportion de clients favorables à ce changement.
On arrondira les bornes de l'intervalle à 0,01.
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