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Bac STMG - Mathématiques - Centres de l'étranger 2018 |
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Chaque semaine, il a relevé le nombre de personnes ayant téléchargé son application. Ses observations sur les cinq premières semaines sont répertoriées dans le tableau ci-dessous. Le rang 0 correspond à la semaine du 1er au 7 avril 2018. Les parties A et B sont indépendantes. Partie A : étude d’un premier modèle Une représentation graphique du nuage de points de coordonnées $(x_i; y_i)$ est donnée en annexe. 1. À l’aide de la calculatrice, déterminer l’équation réduite de la droite d’ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. On donnera les valeurs exactes des deux coefficients. 2. Julien décide d’ajuster ce nuage par la droite $D$ d’équation $y = 37x + 145$. Déterminer les coordonnées de deux points de la droite $D$. Représenter la droite $D$ sur le graphique de l’annexe, à rendre avec la copie. 3. Selon ce modèle, quel est le nombre de téléchargements attendus à la fin de la semaine de rang 10 ? Partie B : étude d’un second modèle En réalité, le nombre de téléchargements effectués jusqu’à la fin de la semaine de rang 10 est donné par le tableau ci-dessous. 1. Justifier que le taux d’évolution global du nombre de téléchargements entre la semaine de rang 4 et la semaine de rang 10 est de 270 %. 2. En déduire le taux d’évolution hebdomadaire moyen du nombre de téléchargements entre la semaine de rang 4 et la semaine de rang 10. On fait l’hypothèse qu’à partir de la semaine de rang 10, le taux d’évolution hebdomadaire du nombre de téléchargements est constant et égal à 24 %. Le nombre de téléchargements hebdomadaires au cours de la semaine de rang (10 + $n$) est alors modélisé par le terme $u_n$ d’une suite de premier terme $u_0$ = 1095. 3. Justifier que la suite $(u_n)$ est géométrique et préciser sa raison. 4. Exprimer $u_n$ en fonction de l’entier naturel $n$. 5. Selon ce modèle, combien de téléchargements Julien peut-il espérer lors de la semaine de rang 20? 6. Un sponsor a contacté Julien, lui proposant une participation financière pour promouvoir son projet à plus grande échelle, dès lors que le nombre de téléchargements hebdomadaires dépassera 20 000. Compléter les deux lignes non renseignées dans l’algorithme donné en annexe, à rendre avec la copie, pour qu’après exécution, la variable $N$ contienne le rang de la semaine à partir de laquelle Julien sera sponsorisé. Exercice 3 – Partie A, question 2 Exercice 3 – Partie B, question 6 |