Le tableau ci-dessous donne l'émission moyenne de CO$_2$ (exprimée en grammes de CO$_2$ par km) des voitures particulières neuves, immatriculées chaque année en France, entre 1995 et 2013.
Partie A
Le nuage de points de coordonnées $(x_i,y_i)$ est représenté page 6/6 en annexe à rendre avec la copie.
- À l’aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite $D$ qui réalise un ajustement affine de ce nuage de points par la méthode des moindres carrés.
On arrondira les coefficients au centième.
- On décide de modéliser l’évolution de l’émission moyenne $y$ de CO$_2$ en fonction du rang $x$ de l’année par la relation
$y = -3,1x+177,7$
On note $D$ la droite d’équation $y = -3,1x+177,7$
- Tracer la droite $D$ dans le repère donné en annexe à rendre avec la copie.
- Le règlement européen du 10 mars 2014 fixe un objectif d’émissions moyennes d’au maximum 95 grammes de CO$_2$ par km en 2020 pour les voitures particulières neuves.
Selon ce modèle, la France atteindra-t-elle cet objectif ?
Partie B
À partir des données fournies dans le tableau :
- Calculer le taux global d’évolution des émissions moyennes de CO$_2$ des voitures particulières neuves entre 1995 et 2013. Exprimer le résultat en pourcentage et arrondir à 0,1 %.
- Calculer le taux moyen annuel d'évolution des émissions moyennes de CO$_2$ des voitures particulières neuves entre 1995 et 2013. Exprimer le résultat en pourcentage et arrondir à 0,1 %.
Partie C
Dans cette partie, on se propose de modéliser, par une suite géométrique, l’évolution de l'émission moyenne de CO$_2$ (exprimée en grammes de CO$_2$ par km) des voitures particulières neuves immatriculées chaque année en France. On considère que celle-ci diminue de 2,1 % par an à partir de 2013.
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ l'émission moyenne de CO$_2$ des voitures particulières neuves immatriculées dans l'année en France pour l’année 2013 + $n$. Ainsi $u_0$ = 117.
- a. Montrer que $u_1 \approx 114,5$.
b. Calculer $u_2$. On arrondira le résultat au dixième.
- Expliquer pourquoi la suite ($u_n$) est une suite géométrique. Donner sa raison.
- Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
- Selon ce modèle d’évolution, la France respectera-t-elle l’objectif européen d’émissions moyennes d’au maximum 95 grammes de CO$_2$ par km en 2020 pour les voitures particulières neuves ?
Exercice 2 (7 points)
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.
Dans le cadre d’une campagne de sensibilisation au tri des ordures ménagères, une enquête a été menée auprès de 1500 habitants d’une ville, répartis de la manière suivante :
- moins de 35 ans : 25 % ;
- entre 35 et 50 ans : 40 % ;
- plus de 50 ans : 35 %.
À la question : « Triez-vous le papier ? »,
- 80 % des moins de 35 ans ont répondu « oui » ;
- 70 % des personnes âgés de 35 à 50 ans ont répondu « oui » ;
- 60 % des personnes de plus de 50 ans ont répondu « oui ».
Partie A
On interroge au hasard une personne parmi celles qui ont répondu à cette enquête. On considère les événements suivants :
- $J$ : « la personne interrogée a moins de 35 ans » ;
- $M$ : « la personne interrogée a un âge compris entre 35 et 50 ans » ;
- $S$ : « la personne interrogée a plus de 50 ans » ;
- $T$ : « la personne interrogée trie le papier ».
- En utilisant les données de l'énoncé recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-
dessous :
- a. Définir par une phrase l’événement $S \cap T$.
b. Calculer la probabilité de l’événement $S \cap T$.
- Calculer la probabilité de l’événement : « la personne interrogée a moins de 35 ans et trie le papier ».
- On note $p$ la probabilité que la personne interrogée trie le papier. Montrer que $p$ = 0,69.
- Calculer la probabilité, arrondie au centième, que la personne interrogée ait moins de
35 ans sachant qu'elle trie le papier.
Partie B
Dans cette question, on choisit au hasard 3 personnes parmi les 1500 interrogées. On suppose que ce choix peut être assimilé à 3 tirages indépendants avec remise. On rappelle que la probabilité $p$ qu'une personne interrogée trie le papier est égale à 0,69.
Quelle est la probabilité, arrondie au centième, que, parmi les 3 personnes interrogées, une au moins trie le papier ?
On considère que l'échantillon des 1500 personnes interrogées est représentatif du comportement face au tri des déchets des habitants de cette ville.
Sachant que $p$ = 0,69 , estimer à l'aide d'un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95 %, la proportion des habitants de cette ville qui trient le papier.
Exercice 3 (6 points)
Partie A
On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle [1 ; 11] par : $f(x)=0,11x^2-0,66x+1,86$
- On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$ .
- Étudier le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle [1 ; 11] et en déduire le tableau de variation de la fonction $f$.
- Quel est le minimum de $f$ ? Pour quelle valeur est-il atteint ?
Partie B
Le tableau ci-dessous donne les ventes annuelles (en millions) de disques vinyles aux États-Unis de 2004 à 2014.
On a représenté les points de coordonnées $(x_i ; y_i)$ dans le repère de l’annexe à rendre avec la copie en page 6/6.
On décide de modéliser les ventes annuelles de vinyles par la fonction $f$.
- a. Recopier et compléter, à l’aide de la calculatrice, le tableau de valeurs suivant. On arrondira les résultats au dixième.
b. Construire la représentation graphique de la fonction $f$ dans le repère donné en annexe.
c. En quelles années le modèle semble-t-il le plus éloigné de la réalité ?
- À l’aide de ce modèle, estimer le nombre de ventes de vinyles en 2016.
Annexe à rendre avec la copie
EXERCICE 1 – PARTIE A
EXERCICE 3 – PARTIE B
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